Máy Tính Curl

Danh mục: Giải tích
- Tháng 12 07, 2025
| |

Tính toán độ cuộn của một trường vector tại một điểm cụ thể. Độ cuộn là một thước đo của sự xoay vòng hoặc tuần hoàn của một trường vector và thường được sử dụng trong vật lý và kỹ thuật.

Nhập Trường Vector

Các Thành Phần Vector F(x,y,z) = F₁i + F₂j + F₃k

Điểm Đánh Giá

Tùy Chọn Hiển Thị

Về Độ Cuộn trong Giải Tích Vector

Độ cuộn của một trường vector là một toán tử vector mô tả sự xoay vòng vô hạn của một trường vector. Nó là một thước đo của mật độ tuần hoàn tại mỗi điểm của trường.

Về mặt vật lý, độ cuộn của một trường vector là tuần hoàn trên một đơn vị diện tích theo hướng vuông góc với diện tích. Ví dụ, trong động lực học chất lỏng, độ cuộn của trường vận tốc (∇ × v) là độ xoáy, đo lường sự xoay vòng cục bộ của chất lỏng.

Ứng Dụng của Độ Cuộn
  • Động Lực Học Chất Lỏng: Độ cuộn của trường vận tốc cho biết độ xoáy của chất lỏng.
  • Điện Từ Học: Các phương trình Maxwell liên kết độ cuộn của các trường điện và từ với các nguồn của chúng.
  • Định Lý Stokes: Liên kết tích phân bề mặt của độ cuộn với tích phân đường quanh biên.
  • Phân Tích Helmholtz: Bất kỳ trường vector nào cũng có thể được phân tích thành một phần không có độ cuộn và một phần không có độ phân kỳ.
Đặc Tính của Độ Cuộn
  • Độ cuộn của một gradient luôn bằng không: ∇ × (∇f) = 0
  • Độ cuộn của một độ cuộn có thể được biểu diễn như: ∇ × (∇ × F) = ∇(∇·F) - ∇²F
  • Đối với một trường vector bảo toàn, độ cuộn bằng không ở mọi nơi
  • Độ cuộn là một toán tử tuyến tính: ∇ × (αF + βG) = α(∇ × F) + β(∇ × G)

Máy Tính Curl: Hướng Dẫn Toàn Diện

Máy Tính Curl là một công cụ mạnh mẽ được thiết kế để tính toán curl của một trường vector trong không gian ba chiều. Phép toán này là một khái niệm cơ bản trong giải tích vector, được sử dụng rộng rãi trong vật lý và kỹ thuật để mô tả các thuộc tính quay của các trường, chẳng hạn như sự quay của một chất lỏng hoặc hành vi của các trường điện từ.

Curl là gì?

Curl của một trường vector đo lường xu hướng quay của trường tại một điểm. Về mặt toán học, đối với một trường vector ( \mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k} ), curl được định nghĩa như sau:

[ \nabla \times \mathbf{F} = \begin{bmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \ P & Q & R \end{bmatrix} ]

Định thức này mở rộng thành các thành phần:

[ \nabla \times \mathbf{F} = \begin{bmatrix} \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \ \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \end{bmatrix} ]

Tính Năng của Máy Tính Curl

  • Nhập Các Thành Phần Trường Vector: Nhập các thành phần ( P(x, y, z) ), ( Q(x, y, z) ), và ( R(x, y, z) ) của trường vector.
  • Đánh Giá Tại Các Điểm Cụ Thể: Tùy chọn, cung cấp giá trị cho ( x ), ( y ), và ( z ) để tính toán curl tại một điểm cụ thể.
  • Hình Ảnh Hóa: Một hình ảnh hóa trường vector 3D cho phép bạn khám phá các thuộc tính quay một cách trực quan.
  • Ví Dụ: Các ví dụ được định nghĩa trước giúp dễ dàng hiểu và kiểm tra công cụ.

Cách Sử Dụng Máy Tính Curl

  1. Nhập Các Thành Phần Trường Vector:
  2. Nhập các biểu thức cho ( P(x, y, z) ), ( Q(x, y, z) ), và ( R(x, y, z) ).
  3. Chọn Một Ví Dụ (Tùy Chọn):
  4. Chọn một ví dụ được định nghĩa trước từ danh sách thả xuống để tự động điền các đầu vào.
  5. Chỉ Định Các Điểm Đánh Giá (Tùy Chọn):
  6. Nếu muốn, cung cấp các giá trị số cho ( x ), ( y ), và ( z ) để tính toán curl tại một điểm cụ thể.
  7. Tính Toán:
  8. Nhấn nút "Tính Toán" để tính curl và xem kết quả, bao gồm phân tích từng bước của các phép tính.
  9. Xóa:
  10. Sử dụng nút "Xóa" để đặt lại các đầu vào và kết quả.

Ví Dụ Tính Toán

Đối với ( P = yz ), ( Q = xz ), và ( R = xy ):

  1. Tính các đạo hàm riêng: [ \frac{\partial Q}{\partial z} = x, \quad \frac{\partial R}{\partial y} = x ] [ \frac{\partial R}{\partial x} = y, \quad \frac{\partial P}{\partial x} = 0 ] [ \frac{\partial P}{\partial y} = z, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = z ]

  2. Tính các thành phần curl: [ \text{Curl X} = \frac{\partial Q}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial y} = x - x = 0 ] [ \text{Curl Y} = \frac{\partial R}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial x} = y - 0 = y ] [ \text{Curl Z} = \frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x} = z - z = 0 ]

  3. Kết quả: [ \nabla \times \mathbf{F} = \begin{bmatrix} 0 \ y \ 0 \end{bmatrix} ]

Câu Hỏi Thường Gặp (FAQ)

Trường vector là gì?

Một trường vector gán một vector cho mỗi điểm trong không gian, thường được sử dụng để đại diện cho các hiện tượng vật lý như dòng chảy chất lỏng hoặc các trường điện từ.

Curl đại diện cho điều gì về mặt vật lý?

Curl chỉ ra sự quay hoặc "vặn" của trường vector tại một điểm nhất định.

Tôi có thể tính curl cho các trường 2D không?

Mặc dù curl chủ yếu là một phép toán 3D, nó giảm xuống thành một giá trị vô hướng trong các trường vector 2D.

Các hàm nào được hỗ trợ?

Máy tính hỗ trợ các hàm toán học phổ biến như hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit và các biểu thức đa thức.

Kết Luận

Máy Tính Curl đơn giản hóa quá trình xác định curl của một trường vector, giúp nó dễ tiếp cận cho sinh viên, kỹ sư và nhà vật lý. Sử dụng nó để hiểu các vòng quay của trường vector và nâng cao trải nghiệm giải quyết vấn đề của bạn!