Máy Tính Đạo Hàm Hướng

Danh mục: Giải tích
- Tháng 10 14, 2025
| |

Tính đạo hàm theo hướng của một hàm tại một điểm theo hướng của một vector cho trước. Nhập một hàm đa biến và chỉ định điểm và vector hướng để tính toán cách mà hàm thay đổi theo hướng đó.

Nhập Hàm

Điểm và Hướng

Tùy Chọn Hiển Thị

Về Đạo Hàm Theo Hướng

Đạo hàm theo hướng đại diện cho tỷ lệ thay đổi của một hàm theo một hướng cụ thể. Nó tổng quát hóa khái niệm đạo hàm riêng, chỉ đo lường sự thay đổi dọc theo các trục tọa độ.

Các Khái Niệm Chính
  • Gradient (∇f): Một vector chứa tất cả các đạo hàm riêng của hàm, chỉ về hướng tăng dốc nhất.
  • Vector Đơn Vị (û): Một phiên bản chuẩn hóa của vector hướng với độ lớn 1.
  • Công Thức Đạo Hàm Theo Hướng: Duf(x,y) = ∇f(x,y) · û, trong đó · đại diện cho tích vô hướng.
  • Diễn Giải: Đo lường tốc độ thay đổi của hàm khi di chuyển từ một điểm theo hướng đã chỉ định.
Ứng Dụng
  • Tối Ưu Hóa: Tìm kiếm các hướng tăng/giảm lớn nhất.
  • Vật Lý: Tính toán tỷ lệ thay đổi theo các hướng cụ thể (dòng nhiệt, trường điện).
  • Đồ Họa Máy Tính: Phân tích và kết xuất bề mặt.
  • Học Máy: Các thuật toán tối ưu hóa dựa trên gradient.

Đạo hàm theo phương là gì?

Đạo hàm theo phương đo lường cách mà một hàm thay đổi khi bạn di chuyển theo một hướng cụ thể từ một điểm cho trước. Nó mở rộng khái niệm về đạo hàm riêng bằng cách xem xét một hướng vector thay vì chỉ tập trung vào các biến riêng lẻ như x hoặc y.

  • Nói một cách đơn giản, nó tính toán tỷ lệ thay đổi của một hàm f(x, y, z) tại một điểm cụ thể theo một hướng cụ thể.
  • Nó được ký hiệu toán học như sau:

D_v f = ∇f ⋅ v̂

Ở đây: - ∇f là vector gradient của hàm, chứa các đạo hàm riêng theo tất cả các biến. - v̂ là vector hướng chuẩn (độ dài đơn vị).

  • Kết quả của đạo hàm theo phương là một số duy nhất cho biết hàm đang tăng, giảm hay không đổi theo hướng đã cho.

Các tính năng chính của máy tính đạo hàm theo phương

  • Đầu vào động: Nhập bất kỳ hàm đa biến nào, một điểm đánh giá và một vector hướng.
  • Giải thích từng bước: Máy tính cung cấp các bước chi tiết, cho thấy cách tính toán gradient và đạo hàm theo phương.
  • Hình ảnh đồ họa: Một đồ thị hiển thị hành vi của hàm dọc theo vector hướng.
  • Ví dụ tích hợp sẵn: Nhanh chóng kiểm tra công cụ với các ví dụ đã cung cấp cho các hàm phổ biến.

Cách sử dụng máy tính đạo hàm theo phương

Các trường nhập:

  1. Nhập một hàm: Chỉ định một hàm đa biến như x^2 + y^2 + z^2 hoặc sin(x) * cos(y).
  2. Điểm đánh giá: Cung cấp điểm mà tại đó đạo hàm sẽ được đánh giá (ví dụ: 1,1,1).
  3. Vector hướng: Nhập vector mà bạn muốn tính đạo hàm (ví dụ: 1,2,3).

Dropdown ví dụ:

  • Chọn một ví dụ đã định nghĩa sẵn để tự động điền các trường:
  • f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 tại (1, 1, 1) theo hướng v = (1, 1, 1).
  • f(x, y) = sin(x) * cos(y) tại (0, 0) theo hướng v = (1, 1).
  • f(x, y) = e^(x + y) tại (1, 2) theo hướng v = (0, 1).

Các nút:

  • Tính toán: Thực hiện tính toán và hiển thị kết quả, các bước và đồ thị.
  • Xóa: Đặt lại tất cả các trường nhập và đầu ra.

Hướng dẫn ví dụ: f(x, y) = sin(x) * cos(y)

Nhập:

  • Hàm: sin(x) * cos(y)
  • Điểm: (0, 0)
  • Vector hướng: (1, 1)

Tính toán:

  1. Tính toán vector gradient:
  2. ∂f/∂x = cos(x) * cos(y)

  3. ∂f/∂y = -sin(x) * sin(y)

  4. Đánh giá tại (0, 0):

  5. ∂f/∂x(0, 0) = 1

  6. ∂f/∂y(0, 0) = 0

  7. Chuẩn hóa vector hướng (1, 1):

  8. Vector đơn vị: v̂ = (1/√2, 1/√2)

  9. Tính toán đạo hàm theo phương: D_v f = (1, 0) ⋅ (1/√2, 1/√2) = 1/√2

Kết quả:

  • Đạo hàm theo phương: 1/√2

Hình ảnh:

  • Đồ thị cho thấy hành vi của hàm dọc theo vector hướng từ điểm đã cho.

Lợi ích của việc sử dụng máy tính

  • Hiệu quả: Tự động hóa việc phân tích và đánh giá thủ công tẻ nhạt.
  • Rõ ràng: Giải thích quy trình từng bước, lý tưởng cho việc học tập hoặc xác minh.
  • Đa dạng: Xử lý các hàm với hai hoặc ba biến và tính toán đạo hàm theo bất kỳ hướng nào.

Khi nào nên sử dụng máy tính đạo hàm theo phương

  • Toán học và Vật lý: Phân tích gradient và tỷ lệ thay đổi trong các hàm đa biến.
  • Học máy và AI: Đánh giá hành vi của hàm chi phí dọc theo các hướng gradient.
  • Kỹ thuật và Tối ưu hóa: Đánh giá sự thay đổi trong các hàm chịu tác động của các ràng buộc hoặc hướng cụ thể.

Đầu ra đồ họa

  • Một đồ thị được tạo ra để hiển thị hành vi của hàm dọc theo vector hướng.
  • Trục x đại diện cho t, khoảng cách dọc theo vector hướng.
  • Trục y đại diện cho f(t), giá trị hàm dọc theo khoảng cách đó.