Máy Tính Đạo Hàm Ngược

Danh mục: Giải tích
- Tháng 5 16, 2025
| |

Tìm nguyên hàm (tích phân không xác định) của một hàm số. Máy tính này giúp bạn xác định hàm số gốc từ đạo hàm của nó.

Nhập Hàm Số

Tùy Chọn Hiển Thị

Về Nguyên Hàm và Tích Phân

Một nguyên hàm (hay tích phân không xác định) của một hàm số f(x) là một hàm số F(x) có đạo hàm là f(x). Nói cách khác, nếu F'(x) = f(x), thì F(x) là một nguyên hàm của f(x).

Các Tính Chất Chính của Nguyên Hàm
  • Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x), thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm, trong đó C là bất kỳ hằng số nào
  • Nguyên hàm của một tổng là tổng của các nguyên hàm: ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
  • Quy tắc nhân hằng số: ∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx, trong đó k là một hằng số
  • Quy tắc lũy thừa: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, trong đó n ≠ -1
  • Tích phân của e^x: ∫e^x dx = e^x + C
  • Tích phân của 1/x: ∫(1/x)dx = ln|x| + C
Ứng Dụng của Tích Phân

Nguyên hàm và tích phân có nhiều ứng dụng trong:

  • Tìm diện tích dưới các đường cong và giữa các đường cong
  • Tính thể tích của các đối tượng ba chiều
  • Giải các phương trình vi phân
  • Ứng dụng trong vật lý: công, năng lượng và chuyển động
  • Xác suất và thống kê
  • Kỹ thuật: phân tích ứng suất, động lực học chất lỏng, v.v.

Đạo hàm nghịch là gì?

Đạo hàm nghịch giúp tính toán đạo hàm của nghịch đảo của một hàm cho trước. Đối với một hàm ( f(x) ), đạo hàm của nghịch đảo của nó, ( f^{-1}(x) ), được xác định bằng công thức:

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

Công thức này phát sinh từ mối quan hệ ( f(f^(-1)(x)) = x ). Bằng cách lấy đạo hàm của cả hai bên theo ( x ), chúng ta có:

( f'(f^(-1)(x)) * (f^(-1)(x))' = 1 )

Giải cho ( (f^(-1)(x))' ), chúng ta thu được:

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

Khái niệm này đặc biệt hữu ích trong giải tích để phân tích tốc độ thay đổi của một hàm nghịch tại một điểm cụ thể.

Tính năng của Máy tính Đạo hàm Nghịch

  • Các bước chi tiết: Nhập một hàm và một giá trị ( x ) để xem giải pháp chi tiết từng bước.
  • Hàm ví dụ: Thử máy tính với các hàm đã được tải sẵn như ( f(x) = x^2 + 1 ), ( f(x) = e^x ), hoặc ( f(x) = ln(x) ).
  • Hình ảnh trực quan: Máy tính vẽ cả hàm và đạo hàm nghịch của nó.

Cách sử dụng Máy tính Đạo hàm Nghịch

  1. Nhập một Hàm: Nhập hàm ( f(x) ) mà bạn muốn tính đạo hàm nghịch. Ví dụ: x^2 + 1 hoặc e^x.
  2. Chỉ định một Giá trị ( x ): Nhập điểm mà bạn muốn tính đạo hàm của hàm nghịch.
  3. Nhấn Tính toán: Xem kết quả cùng với giải thích chi tiết về phép tính.
  4. Khám phá các Ví dụ đã tải sẵn: Sử dụng menu thả xuống để thử các hàm ví dụ và xem cách máy tính hoạt động.

Hướng dẫn Ví dụ

Giả sử bạn muốn tính đạo hàm nghịch của ( f(x) = x^2 + 1 ) tại ( x = 2 ):

  1. Đạo hàm của ( f(x) ) là:

( f'(x) = 2 * x )

  1. Đánh giá ( f'(2) ):

( f'(2) = 2 * 2 = 4 )

  1. Sử dụng công thức cho đạo hàm nghịch:

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

Tại ( x = 2 ), đạo hàm nghịch là:

( (f^(-1)(2))' = 1 / 4 = 0.25 )

Lợi ích chính của việc sử dụng Máy tính này

  • Tính toán nhanh chóng đạo hàm nghịch của các hàm phức tạp.
  • Hình dung hàm và đạo hàm nghịch của nó trên một đồ thị tương tác.
  • Hiểu quy trình thông qua các giải pháp từng bước.