Máy Tính Độ Phân Kỳ

Máy Tính Độ Phân Kỳ: Giải Thích và Hướng Dẫn Sử Dụng

Máy Tính Độ Phân Kỳ là một công cụ tương tác được thiết kế để tính toán độ phân kỳ của một trường vector ba chiều. Nó cung cấp một cách trực quan để tính toán và hình dung độ phân kỳ của một trường vector ( \mathbf{F}(x, y, z) ), cung cấp cả biểu diễn ký hiệu của độ phân kỳ và việc đánh giá nó tại các điểm cụ thể. Ngoài ra, công cụ này còn tạo ra một hình ảnh đồ họa của trường vector để giúp người dùng có cái nhìn sâu sắc hơn về hành vi của nó.

Độ Phân Kỳ Là Gì?

Độ phân kỳ là một đại lượng vô hướng đo lường tốc độ mà một trường vector lan tỏa hoặc hội tụ tại một điểm nhất định. Về mặt toán học, độ phân kỳ của một trường vector ( \mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k} ) được cho bởi:

[ \text{div} \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} ]

• Nếu độ phân kỳ dương, trường vector đang lan tỏa tại điểm đó.
• Nếu độ phân kỳ âm, trường vector đang hội tụ tại điểm đó.
• Nếu độ phân kỳ bằng không, trường được cho là solenoidal tại điểm đó.

Máy tính này cung cấp cả độ phân kỳ ký hiệu và tùy chọn để đánh giá nó một cách số học tại các điểm cụ thể.

Tính Năng Của Máy Tính Độ Phân Kỳ

• Độ Phân Kỳ Ký Hiệu: Tự động tính toán các đạo hàm riêng của các thành phần trường vector và xây dựng phương trình độ phân kỳ.
• Đánh Giá Tại Điểm: Đánh giá độ phân kỳ một cách số học tại một điểm cụ thể ( (x, y, z) ).
• Hình Ảnh Đồ Họa: Hiển thị một đại diện 3D của trường vector bằng cách sử dụng khả năng vẽ đồ thị 3D tương tác của Plotly.
• Ví Dụ Dropdown: Tải nhanh các ví dụ đã được định nghĩa trước về các trường vector để khám phá.
• Xử Lý Lỗi: Đảm bảo rằng các đầu vào không hợp lệ hoặc không đầy đủ được xử lý một cách nhẹ nhàng.

Cách Sử Dụng Máy Tính Độ Phân Kỳ

Thực hiện theo các bước đơn giản sau để sử dụng máy tính một cách hiệu quả:

1. Nhập Trường Vector:
2. Nhập các thành phần ( P(x, y, z) ), ( Q(x, y, z) ), và ( R(x, y, z) ) của trường vector vào các ô nhập tương ứng.

3. Ví dụ:

   • ( P(x, y, z) = \sin(xy) )
   • ( Q(x, y, z) = \cos(xy) )
   • ( R(x, y, z) = e^z )

4. Chọn Một Ví Dụ:

5. Sử dụng menu dropdown để tải các ví dụ đã được định nghĩa trước về các trường vector.

6. Chỉ Định Một Điểm Đánh Giá (Tùy Chọn):

7. Nếu bạn muốn đánh giá độ phân kỳ tại một điểm cụ thể, hãy nhập các giá trị của ( x ), ( y ), và ( z ) vào các trường tương ứng.

8. Nhấn "Tính Toán":

9. Máy tính sẽ:

   • Tính toán độ phân kỳ ký hiệu.
   • Đánh giá độ phân kỳ tại điểm đã chỉ định (nếu có).
   • Hiển thị một phân tích từng bước của phép tính.
   • Tạo ra một hình ảnh 3D của trường vector.

10. Xóa Các Đầu Vào:

11. Sử dụng nút "Xóa" để đặt lại máy tính.

Ví Dụ Hướng Dẫn

Ví Dụ Trường Vector:

[ \mathbf{F}(x, y, z) = \sin(xy)\mathbf{i} + \cos(xy)\mathbf{j} + e^z\mathbf{k} ]

1. Nhập các thành phần:
2. ( P(x, y, z) = \sin(xy) )
3. ( Q(x, y, z) = \cos(xy) )

4. ( R(x, y, z) = e^z )

5. Nhấn "Tính Toán." Máy tính sẽ:

6. Tính toán các đạo hàm riêng:
   • ( \frac{\partial P}{\partial x} = y\cos(xy) )
   • ( \frac{\partial Q}{\partial y} = -x\sin(xy) )
   • ( \frac{\partial R}{\partial z} = e^z )
7. Kết hợp chúng để tìm: [ \text{div} \mathbf{F} = y\cos(xy) - x\sin(xy) + e^z ]

8. Nếu các điểm đánh giá ( (x=1, y=1, z=0) ) được cung cấp, kết quả sẽ được đánh giá là: [ \text{div} \mathbf{F}(1, 1, 0) = 1\cdot \cos(1) - 1\cdot \sin(1) + e^0 = \cos(1) - \sin(1) + 1 \approx 1.5403 ]

9. Hình dung trường vector 3D được tạo ra trên đồ thị.

Câu Hỏi Thường Gặp

1. Các định dạng đầu vào nào được hỗ trợ cho các thành phần trường vector?

Máy tính hỗ trợ các hàm theo ( x ), ( y ), và ( z ). Các ví dụ bao gồm: - Hàm đa thức: ( x^2, y^2 + z ) - Hàm lượng giác: ( \sin(xy), \cos(z) ) - Hàm mũ: ( e^z, x \cdot e^y )

2. Điều gì xảy ra nếu tôi không cung cấp một điểm đánh giá?

Nếu không có điểm đánh giá nào được chỉ định, máy tính sẽ chỉ hiển thị phương trình độ phân kỳ ký hiệu.

3. Tôi có thể sử dụng máy tính này cho các trường vector 2D không?

Có, chỉ cần để thành phần ( R(x, y, z) \ trống hoặc đặt nó bằng không.

4. Hình ảnh 3D của trường vector được tạo ra như thế nào?

Máy tính sử dụng Plotly để tạo ra một đồ thị trường vector 3D tương tác. Mỗi mũi tên đại diện cho hướng và độ lớn của trường tại một điểm nhất định.

5. Điều gì xảy ra nếu đầu vào của tôi có lỗi?

Máy tính kiểm tra các lỗi như thiếu thành phần hoặc biểu thức không hợp lệ. Một thông báo lỗi mô tả sẽ hướng dẫn bạn sửa chữa vấn đề.

Tóm Tắt

Máy Tính Độ Phân Kỳ đơn giản hóa quá trình phân tích các trường vector bằng cách tự động hóa việc tính toán độ phân kỳ và cung cấp một đại diện hình ảnh rõ ràng. Dù bạn là sinh viên, giáo viên hay chuyên gia, công cụ này rất phù hợp để có được cái nhìn sâu sắc về hành vi của các trường vector trong không gian 3D. Hãy bắt đầu khám phá ngay để mở khóa toàn bộ tiềm năng của máy tính mạnh mẽ này!