Máy tính Quy tắc Simpson

Danh mục: Giải tích

- Tháng 6 18, 2025

| |

Tính tích phân xác định bằng phương pháp số sử dụng Quy tắc Simpson. Công cụ này xấp xỉ tích phân của một hàm trên một khoảng xác định bằng cách khớp các cung parabol qua các điểm cách đều nhau.

Tham số Tích phân

Hàm cần tích phân:

Sử dụng x làm biến. Các hàm toán học: sin, cos, tan, log, sqrt, v.v.

Cận dưới (a):

Cận trên (b):

Số khoảng (n):

Phải là số chẵn để áp dụng Quy tắc Simpson

Tùy chọn Hiển thị

Hiển thị đồ thị hàm

Hiển thị các vùng xấp xỉ

Hiểu về Quy tắc Simpson

Quy tắc Simpson là một phương pháp xấp xỉ số cho tích phân xác định. Phương pháp này xấp xỉ hàm bằng các đa thức bậc hai, mang lại độ chính xác cao hơn so với các phương pháp đơn giản như Quy tắc Hình thang.

Công thức

\begin{align} \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \ldots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] \end{align}

Trong đó:

h = (b - a) / n là độ rộng của mỗi khoảng con
n là số khoảng con (phải là số chẵn)
x_i = a + i·h là các điểm cách đều nhau

Thành phần Sai số

Quy tắc Simpson có thành phần sai số là O(h⁵), nghĩa là sai số tỷ lệ với h⁴. Cụ thể:

\text{Error} \approx -\frac{b-a}{180}h^4 f^{(4)}(\xi)

Trong đó f⁽⁴⁾(ξ) là đạo hàm bậc bốn của f tại một điểm ξ nằm giữa a và b.

So sánh với các Phương pháp khác

Quy tắc Trung điểm: Sai số là O(h³), kém chính xác hơn Quy tắc Simpson
Quy tắc Hình thang: Sai số là O(h³), kém chính xác hơn Quy tắc Simpson
Quy tắc Simpson 3/8: Độ chính xác tương tự Quy tắc Simpson
Phương pháp Gaussian Quadrature: Chính xác hơn với một số lớp hàm nhất định

Lưu ý: Công cụ này cung cấp các xấp xỉ số có thể chứa sai số, đặc biệt đối với các hàm có điểm kỳ dị hoặc dao động nhanh. Luôn kiểm tra lại các kết quả quan trọng bằng các phương pháp khác hoặc giải pháp phân tích khi cần thiết.

Máy Tính Quy Tắc Simpson Là Gì?

Máy Tính Quy Tắc Simpson là một công cụ tương tác giúp ước tính giá trị của một tích phân xác định. Thay vì giải các tích phân phức tạp bằng tay, máy tính này áp dụng một phương pháp số đáng tin cậy để xấp xỉ diện tích dưới đường cong, được gọi là Quy Tắc Simpson. Nó đặc biệt hữu ích cho các hàm khó hoặc không thể tích phân một cách phân tích.

\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + \dots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] \]

Phương pháp này chia đoạn thành một số phần chẵn và khớp các parabol qua các điểm trên đồ thị của hàm số. Nó mang lại độ chính xác cao hơn so với quy tắc hình thang hoặc quy tắc điểm giữa.

Tại Sao Nên Sử Dụng?

Dù bạn là học sinh, giáo viên, kỹ sư hay người học tò mò, Máy Tính Quy Tắc Simpson giúp bạn:

Ước tính tích phân xác định một cách nhanh chóng
Hình dung cách diện tích dưới đường cong được xấp xỉ
Hiểu tác động của việc thay đổi số lượng đoạn
Thực hiện phân tích lỗi và xem hành vi hội tụ

Nó cũng bổ sung cho các công cụ khác như Máy Tính Tích Phân để giải tích phân xác định hoặc không xác định và Máy Tính Nguyên Hàm để tìm nguyên hàm. Nếu bạn đang làm việc với các hàm nhiều biến, hãy tham khảo Máy Tính Đạo Hàm Riêng để tính đạo hàm riêng hoặc phân tích đạo hàm nhiều biến.

Cách Sử Dụng Máy Tính

Thực hiện các bước đơn giản sau để có được xấp xỉ chính xác cho tích phân xác định của bạn:

Nhập hàm bạn muốn tích phân vào ô nhập liệu (sử dụng x làm biến).
Đặt cận dưới và cận trên cho đoạn tích phân.
Chọn số lượng đoạn (phải là số chẵn).
Tùy chọn, bật hiển thị đồ thị hàm và hình ảnh xấp xỉ.
Nhấn "Tính Tích Phân" để xem kết quả, đồ thị và phân tích chi tiết.

Bạn có thể đặt lại máy tính bất kỳ lúc nào bằng nút "Đặt Lại".

Các Trường Hợp Sử Dụng Phổ Biến

Sử dụng Máy Tính Quy Tắc Simpson để:

Xấp xỉ diện tích dưới các đường cong khi tích phân chính xác khó tính toán
So sánh kết quả số với các giải pháp chính xác từ một máy giải tích phân
Phân tích hội tụ bằng cách tăng số lượng đoạn
Hiểu rõ hành vi lỗi qua các số lượng đoạn khác nhau

Nó đặc biệt hữu ích để kiểm tra bài làm hoặc bổ sung kết quả từ các công cụ như Máy Tính Đạo Hàm Bậc Hai hoặc Máy Tính Đạo Hàm Hướng trong phân tích nhiều biến.

Câu Hỏi Thường Gặp

Hỏi: Tôi có thể nhập loại hàm nào?
Bất kỳ hàm nào sử dụng x làm biến. Các biểu thức phổ biến bao gồm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ và logarit. Ví dụ: x^2 + sin(x).

Hỏi: Tại sao số lượng đoạn phải là số chẵn?
Quy Tắc Simpson dựa vào việc khớp các parabol qua các cặp đoạn. Một số lượng đoạn lẻ sẽ phá vỡ sự ghép cặp này.

Hỏi: Phương pháp này chính xác đến mức nào?
Quy Tắc Simpson rất chính xác đối với các hàm mượt mà và cải thiện khi tăng số lượng đoạn. Máy tính cũng hiển thị thông tin lỗi và hội tụ.

Hỏi: Điều gì xảy ra nếu hàm của tôi không xác định tại một số điểm?
Tránh các hàm có điểm kỳ dị hoặc gián đoạn trong đoạn. Những điều này có thể gây ra kết quả không chính xác hoặc lỗi tính toán.

Suy Nghĩ Cuối Cùng

Máy tính này là một người bạn đồng hành hữu ích trong việc học giải tích và giải quyết các vấn đề thực tế liên quan đến tích phân. Nó là một phần của bộ công cụ toán học rộng hơn như Máy Tính Đạo Hàm, Máy Tính Đạo Hàm Ngược, và Máy Tính Giới Hạn giúp đơn giản hóa việc học và áp dụng các khái niệm toán học nâng cao.