Máy Tính Số Phức

Danh mục: Đại số II
- Tháng 5 16, 2025
| |

Máy tính này giúp bạn thực hiện các phép toán với số phức dưới dạng a + bi, trong đó i là đơn vị ảo.

Nhập Số Phức

+ i
+ i

Phép Toán

+ Cộng
− Trừ
× Nhân
÷ Chia
z* Phần Bù
|z| Độ Lớn
arg(z) Góc
reiθ Dạng Phân Polar
z2 Bình Phương
√z Căn Bậc Hai
zn Lũy Thừa
n√z Căn Bậc n

Tùy Chọn Hiển Thị

Về Số Phức

Số phức là các số có dạng a + bi, trong đó a và b là các số thực, và i là đơn vị ảo với tính chất i² = -1. Chúng mở rộng khái niệm về đường số một chiều sang mặt phẳng phức hai chiều.

Các Phép Toán Chính Với Số Phức
  • Cộng: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
  • Trừ: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
  • Nhân: (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
  • Chia: (a + bi)/(c + di) = ((ac + bd)/(c² + d²)) + ((bc - ad)/(c² + d²))i
  • Phần Bù: (a + bi)* = a - bi
  • Độ Lớn: |a + bi| = √(a² + b²)
  • Góc: arg(a + bi) = tan⁻¹(b/a) (với điều chỉnh phù hợp cho các góc)
Các Dạng Của Số Phức
  • Dạng Hình Chữ Nhật: z = a + bi (tọa độ Cartesian)
  • Dạng Phân Polar: z = r(cos θ + i sin θ) = re^(iθ) (trong đó r là độ lớn và θ là góc)
Ứng Dụng Của Số Phức

Số phức rất quan trọng trong:

  • Kỹ thuật điện và xử lý tín hiệu
  • Cơ học lượng tử và vật lý
  • Thuyết điều khiển và phân tích hệ thống
  • Động lực học chất lỏng và khí động học
  • Đồ họa máy tính và fractals

Số phức là gì?

Một số phức là một số bao gồm hai phần:

  • Một phần thực: Được biểu diễn như một số thông thường (ví dụ, 3).
  • Một phần ảo: Được biểu diễn như một số nhân với i, trong đó i là căn bậc hai của -1.

Một số phức được viết dưới dạng:

a + bi

Trong đó:

  • a là phần thực.
  • b là hệ số của phần ảo.

Ví dụ:

  • 2 + 3i là một số phức.
  • 5 + 0i là một số thực (không có phần ảo).
  • 0 + 4i là một số hoàn toàn ảo.

Ứng dụng của số phức

Số phức được sử dụng trong nhiều lĩnh vực:

  • Kỹ thuật: Phân tích mạch, xử lý tín hiệu.
  • Toán học: Giải phương trình bậc hai, fractals.
  • Vật lý: Biểu diễn sóng và dao động.

Tính năng của máy tính số phức

  • Phép toán cơ bản: Thực hiện phép cộng, trừ, nhân và chia hai số phức.
  • Tính toán liên hợp: Tìm liên hợp của một số phức.
  • Mô-đun: Tính toán độ lớn của một số phức.
  • Chuyển đổi dạng cực: Biểu diễn một số phức trong tọa độ cực.
  • Phân số nghịch đảo: Tính nghịch đảo của một số phức.
  • Giải thích từng bước: Xem chi tiết từng bước cho mỗi phép tính.

Cách sử dụng máy tính số phức

Bước 1: Nhập các số phức

  • Nhập phần thực và phần ảo của số phức đầu tiên vào các trường được gán nhãn Số phức 1.
  • Nhập phần thực và phần ảo của số phức thứ hai vào các trường được gán nhãn Số phức 2.

Bước 2: Chọn phép toán

  • Chọn một phép toán từ menu thả xuống:
    • Cộng (+): Cộng hai số phức.
    • Trừ (-): Trừ số phức thứ hai khỏi số phức đầu tiên.
    • Nhân (*): Nhân hai số phức bằng phương pháp FOIL.
    • Chia (/): Chia số phức đầu tiên cho số phức thứ hai.
    • Liên hợp: Tìm liên hợp của số phức đầu tiên.
    • Mô-đun: Tính độ lớn của số phức đầu tiên.
    • Dạng cực: Chuyển đổi số phức đầu tiên sang tọa độ cực.
    • Phân số nghịch đảo: Tính nghịch đảo của số phức đầu tiên.

Bước 3: Nhấn "Tính toán"

  • Nhấn nút "Tính toán" để thực hiện phép tính. Máy tính sẽ:
    • Hiển thị kết quả trong phần kết quả.
    • Cung cấp phân tích chi tiết cho từng bước tính toán.

Bước 4: Xóa các trường

  • Nhấn nút "Xóa" để đặt lại tất cả các trường và bắt đầu một phép tính mới.

Các phép tính ví dụ

Ví dụ 1: Cộng

Nhập:

  • Số phức 1: 2 + 3i
  • Số phức 2: 4 + 5i
  • Phép toán: Cộng

Tính toán:

(2 + 3i) + (4 + 5i) = (2 + 4) + (3 + 5)i = 6 + 8i

Kết quả:

  • Kết quả: 6 + 8i

Ví dụ 2: Dạng cực

Nhập:

  • Số phức: 2 + 3i
  • Phép toán: Dạng cực

Tính toán:

r = sqrt(2^2 + 3^2) = sqrt(13) ≈ 3.61

θ = tan-1(3/2) ≈ 0.98 radians

Dạng cực = 3.61(cos(0.98) + i sin(0.98))

Kết quả:

  • Kết quả: 3.61(cos(0.98) + i sin(0.98))

Các câu hỏi thường gặp (FAQ)

Phương pháp FOIL cho số phức là gì?

Phương pháp FOIL là viết tắt của:

  • F: Nhân các hạng tử đầu tiên.
  • O: Nhân các hạng tử bên ngoài.
  • I: Nhân các hạng tử bên trong.
  • L: Nhân các hạng tử cuối cùng.

Đối với hai số phức (a + bi) và (c + di), FOIL đơn giản hóa phép nhân như sau:

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2

Vì i^2 = -1, kết quả trở thành:

(ac - bd) + (ad + bc)i

Làm thế nào để tính mô-đun của một số phức?

Mô-đun (hay độ lớn) của a + bi là:

|a + bi| = sqrt(a^2 + b^2)

Nó đại diện cho khoảng cách của số phức từ gốc trong mặt phẳng số phức.

Liên hợp của một số phức là gì?

Liên hợp của a + bi là a - bi. Nó được lấy bằng cách đảo ngược dấu của phần ảo.

Dạng cực của một số phức là gì?

Dạng cực của a + bi là:

r(cos θ + i sin θ)

Trong đó:

  • r = sqrt(a^2 + b^2) (mô-đun)
  • θ = tan-1(b/a) (góc tính bằng radian)

Tôi có thể chia cho số không với các số phức không?

Không, chia cho số không là không xác định đối với cả số thực và số phức. Nếu số phức thứ hai là 0 + 0i, máy tính sẽ hiển thị một lỗi.

Lợi ích của máy tính số phức

  • Giáo dục: Phân tích từng phép toán thành các bước dễ theo dõi.
  • Chính xác: Xử lý phép toán số phức với độ chính xác cao.
  • Đa năng: Bao gồm các phép toán nâng cao như dạng cực và tính toán mô-đun.
  • Dễ sử dụng: Giao diện đơn giản cho các phép tính nhanh chóng.

Máy tính này rất lý tưởng cho sinh viên, kỹ sư và bất kỳ ai làm việc với số phức!