Máy Tính Phân Phối Hình Học

Danh mục: Thống kê

- Tháng 5 21, 2025

| |

Tính toán hàm khối xác suất (PMF), hàm phân phối tích lũy (CDF), trung bình, phương sai và các thống kê khác cho phân phối Hình học với xác suất thành công p.

Nhập Tham Số

Xác Suất Thành Công (p):

Loại Phân Phối:

Tùy Chọn Tính Toán

Loại Tính Toán:

Giá Trị x:

Tùy Chọn Hiển Thị

Số Chữ Số Thập Phân:

Hiển thị các bước tính toán

Hiển thị đồ thị phân phối

Giá Trị Tối Đa Trục x:

Về Phân Phối Hình Học

Phân phối Hình học mô hình hóa số lần thử cần thiết để đạt được thành công đầu tiên trong một chuỗi các thử nghiệm Bernoulli độc lập, mỗi thử nghiệm có xác suất thành công p giống nhau.

Hai Biến Thể Thông Dụng

Số Lần Thử: Đếm tổng số lần thử cho đến (và bao gồm) thành công đầu tiên. Miền: x ∈ {1, 2, 3, ...}
Số Lần Thất Bại: Chỉ đếm các thất bại trước khi thành công đầu tiên. Miền: x ∈ {0, 1, 2, ...}

Cả hai biến thể đều được sử dụng trong thực tế, vì vậy điều quan trọng là làm rõ bạn đang làm việc với biến thể nào.

Các Tính Chất Chính

Tính Chất Không Nhớ: P(X > s + t | X > s) = P(X > t)
Trung Bình (Giá Trị Mong Đợi): E[X] = 1/p (thử nghiệm) hoặc (1-p)/p (thất bại)
Phương Sai: Var(X) = (1-p)/p² (cả hai phiên bản)
Chế Độ: Luôn là 1 (thử nghiệm) hoặc 0 (thất bại)
Độ Nghiêng: (2-p)/√(1-p) > 0, cho thấy độ nghiêng về bên phải

Ứng Dụng

Phân phối Hình học thường được sử dụng để mô hình hóa:

Số lần cố gắng cần thiết để đạt được thành công
Thời gian chờ đợi cho đến khi xảy ra lần đầu tiên của một sự kiện
Kiểm soát chất lượng (số lượng sản phẩm được kiểm tra cho đến khi tìm thấy một lỗi)
Kiểm tra độ tin cậy (số lần thử cho đến khi thiết bị hỏng)
Các trò chơi may rủi (số lần lăn cho đến khi có một kết quả cụ thể)
Mô hình hóa quy trình thu hút hoặc chuyển đổi khách hàng

Quan Hệ Với Các Phân Phối Khác

Phân phối Hình học là một trường hợp đặc biệt của phân phối Nhị thức Âm (Negative Binomial) với r = 1 (một thành công).
Nó là tương đương rời rạc của phân phối Liên tục Exponential.
Giống như phân phối Exponential, nó là phân phối rời rạc duy nhất không nhớ.

Phân phối Hình học là gì?

Phân phối hình học là một phân phối xác suất rời rạc mô hình hóa số lần thử cần thiết để đạt được thành công đầu tiên trong một chuỗi các thử nghiệm Bernoulli độc lập, trong đó mỗi thử nghiệm có hai kết quả có thể (thành công hoặc thất bại). Nó được sử dụng rộng rãi trong thống kê để phân tích các quá trình mà sự kiện xảy ra cho đến khi một thành công cụ thể được quan sát.

Có hai loại phân phối hình học:

Loại 1: \( X \) là tổng số lần thử cho đến và bao gồm thành công đầu tiên.
Loại 2: \( X \) là số lần thất bại cho đến thành công đầu tiên (không bao gồm thử nghiệm thành công).

Mục đích của Máy tính Phân phối Hình học

Máy tính này được thiết kế để giúp người dùng tính toán các xác suất sau cho một xác suất thành công nhất định (\( p \)) và số lần thử (\( X \)):

\( P(X = x) \): Xác suất thành công xảy ra trong một thử nghiệm cụ thể.
\( P(X \leq x) \): Xác suất tích lũy của thành công xảy ra trong \( x \) lần thử.

Máy tính cung cấp các phép tính chi tiết, từng bước cho cả hai loại phân phối hình học, giúp người dùng dễ dàng hiểu và giải quyết các vấn đề liên quan.

Các Tính năng Chính của Máy tính

Hỗ trợ Chế độ Kép: Cho phép người dùng chọn giữa hai loại phân phối hình học.
Kết quả Chính xác: Tính toán cả xác suất chính xác và tích lũy với độ chính xác.
Giải thích Từng Bước: Cung cấp các phép tính chi tiết để giúp người dùng hiểu quy trình.
Giao diện Thân thiện với Người dùng: Các trường nhập đơn giản và menu thả xuống trực quan để chọn loại phân phối.
Xử lý Lỗi Thời gian Thực: Cảnh báo người dùng về các đầu vào không hợp lệ và hướng dẫn sửa chữa.

Cách Sử dụng Máy tính Phân phối Hình học

Thực hiện theo các bước sau để sử dụng máy tính một cách hiệu quả:

Nhập Xác suất Thành công (\( p \)): Nhập một giá trị giữa 0 và 1 (ví dụ: 0.5 cho 50%).
Nhập Số lần Thử (\( X \)): Cung cấp số lần thử dưới dạng số nguyên dương (ví dụ: 3).
Chọn Loại Phân phối: Sử dụng menu thả xuống để chỉ định xem \( X \) có bao gồm thành công đầu tiên hay chỉ đếm các thất bại trước thành công đầu tiên.
Nhấn Tính toán: Nhấn nút "Tính toán" để tính toán kết quả và hiển thị giải thích từng bước.
Xóa Đầu vào: Sử dụng nút "Xóa" để đặt lại các đầu vào và bắt đầu một phép tính mới.

Ứng dụng của Phân phối Hình học

Phân phối hình học thường được sử dụng trong nhiều lĩnh vực, bao gồm:

Kiểm soát Chất lượng: Để xác định khả năng phát hiện một mặt hàng bị lỗi trong quá trình kiểm tra.
Phân tích Thể thao: Để mô hình hóa xác suất một đội ghi điểm trong một tình huống cụ thể.
Hỗ trợ Khách hàng: Để dự đoán số cuộc gọi cần thiết để giải quyết một vấn đề.
Tài chính: Để ước tính số lượng đầu tư cần thiết để có lợi nhuận.

Các Câu hỏi Thường gặp (FAQ)

Xác suất thành công (\( p \)) đại diện cho điều gì?
Xác suất thành công (\( p \)) là khả năng thành công trong một thử nghiệm đơn lẻ. Nó phải là một giá trị giữa 0 và 1.
Có thể số lần thử (\( X \)) là số âm không?
Không, \( X \) phải là một số nguyên dương, vì nó đại diện cho số lần thử hoặc thất bại.
Sự khác biệt giữa hai loại phân phối là gì?
Trong Loại 1, \( X \) bao gồm thử nghiệm thành công. Trong Loại 2, \( X \) chỉ đếm các thất bại trước thành công.
Tôi nên hiểu kết quả như thế nào?
Kết quả cho thấy xác suất đạt được thành công trong một thử nghiệm cụ thể (\( P(X = x) \)) và xác suất tích lũy của thành công trong \( X \) lần thử (\( P(X \leq x) \)).
Điều gì xảy ra nếu tôi nhập đầu vào không hợp lệ?
Máy tính sẽ hiển thị một thông báo lỗi và hướng dẫn bạn sửa chữa các đầu vào.